Symbol nieoznaczony

Symbol nieoznaczony, wyrażenie nieoznaczone^[1] – wyrażenie algebraiczne, którego elementy należą do rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych i które nie ma sensu liczbowego; działanie arytmetyczne niewykonalne. Wyróżnia się ich siedem^[1]:

{\tfrac {0}{0}},\;{\tfrac {\infty }{\infty }},\;\infty -\infty ,\;0\cdot \infty ,\;0^{0},1^{\infty },\;\infty ^{0}.

Są to umowne sposoby zapisu obliczeń granic funkcji. Granicy wyrażeń takich postaci nie można obliczyć, mając tylko informację o granicach funkcji, które składają się na całe wyrażenie. Do ich obliczenia można stosować przekształcenia algebraiczne lub regułę de l’Hospitala.

W niektórych kontekstach wartości takich symboli są definiowane:

w kombinatoryce przyjmuje się, że $0^{0}=1$ (zob. potęgowanie);
w teorii miary przyjmuje się $0\cdot \infty =0$ ^{[potrzebny przypis]}.

Przykład

Ciąg typu $\infty -\infty$ może:

być zbieżny do dowolnej liczby rzeczywistej c, np.
$\lim _{n\to \infty }[(n+c)-n]=c;$
być rozbieżny do nieskończoności $(+\infty$ lub $-\infty )$ , np.
$\lim _{n\to \infty }(2n-n)=\infty ,$

$\lim _{n\to \infty }(n-2n)=-\infty ;$
nie mieć granicy (skończonej ani nieskończonej), np.
$\lim _{n\to \infty }[(n+\sin n)-n]$ nie istnieje.